rădăcini de multiplicare
Salutări, pisică! Ultima dată când am detaliat ce rădăcinile (în cazul în care nu amintesc, am recomandăm lectură). Concluzia principală a lecției: există o singură definiție universală a rădăcinilor, și că trebuie să știți. Restul - prostii și o pierdere de timp.
Astăzi, vom merge mai departe. Să învățăm să multiplice rădăcinile, examina unele dintre problemele asociate cu multiplicarea (în cazul în care aceste probleme nu sunt rezolvate, atunci examenul, ele pot fi fatale), și cum ar trebui să practice. Prin urmare, aprovizionat cu floricele, stai pe spate - si incepem :).
Lecția sa dovedit destul de mare, așa că am împărțit în două părți:
- În primul rând ne vom uita la regulile de multiplicare. Cap după cum sugerează: este atunci când există două rădăcini, printre ei este un semn de „multiplica“ - și vrem să facem ceva.
- Să examinăm atunci situația inversă: există o mare rădăcină, și suntem nerăbdători să-l prezinte ca un produs de două rădăcini mai simple. Cu o speriat este nevoie - o chestiune separată. Ne vom uita doar algoritm.
Cei care nu pot aștepta pentru a merge direct la a doua parte - sunteți binevenit. Cu restul comenzii de start.
Regula de bază de multiplicare
Să începem cu cele mai simple - rădăcini pătrate clasice. Cei care sunt desemnate $ \ sqrt $ și $ \ sqrt $. în general, evident pentru toți:
regula de multiplicare. Pentru a multiplica rădăcina pătrată a una la alta, trebuie doar să multiplice radicands lor, ca urmare a înregistrării sub radicalul:
Orice restricții suplimentare cu privire la numărul de picioare pe dreapta sau la stânga nu este impusă în cazul în care există multiplicatorii rădăcini, iar produsul este, de asemenea, acolo.
Exemple. Luați în considerare doar patru exemple cu numere:
După cum puteți vedea, sensul de bază al acestei reguli - simplificarea expresiilor iraționale. Și dacă în primul exemplu, ne-am învățat rădăcinile 25 și 4, fără nici noi reguli, începe apoi staniu: $ \ sqrt $ și $ \ sqrt $ per se nu sunt luate în considerare, dar produsul lor este un pătrat perfect, astfel încât rădăcina este un număr rațional.
Separat, aș dori să rețineți ultima linie. Există atât expresia radicală reprezintă fracțiuni. Datorită mai multor factori, sunt reduse, iar întreaga expresie este transformată într-un număr adecvat.
Desigur, nu totul este atât de frumos. Uneori, sub radacinile vor fi un dezastru complet - nu este clar ce să facă cu ea și cum să se transforme după multiplicare. Puțin mai târziu, atunci când începe să exploreze ecuațiile iraționale și inegalitățile, există, în general, vor fi tot felul de variabile și funcții. Și foarte des redactorii problemelor chiar contează pe faptul că veți găsi niște termeni de tăiere sau de factori, atunci sarcina este simplificată o dată.
În plus, nu este necesar să se multiplice cele două rădăcini. Pot fi multiplicate doar trei, patru - dar cel puțin zece! De obicei, aceasta nu se schimba. Aruncati o privire:
Din nou, pe scurt comentariu al doilea exemplu. După cum puteți vedea, în al treilea factor sub rădăcină ar trebui să Zecimal - înlocuim obișnuită în timpul de calcul, iar apoi totul este redus cu ușurință. Deci: Am foarte recomanda a scăpa de zecimale, în orice expresii iraționale (de exemplu, care conțin cel puțin un radical al icoanei unul). În viitor, se va economisi o mulțime de timp și nervi.
Dar a fost o digresiune. Acum ia în considerare cazul mai general - la fel ca în indicele rădăcină un număr arbitrar $ n $, și nu numai la egalitate de puncte „clasice“.
O cifră arbitrară
Deci, cu rădăcina pătrată sortate. Și ce să facă cu cubul? Sau chiar și rădăcinile de arbitrare grad $ n $? Da, toate la fel. Regula rămâne aceeași:
Pentru a multiplica cele două rădăcini de grad $ n $, este suficient să se multiplice radicands lor, iar apoi scrie rezultatul unui singur radical.
În general, nimic complicat. Cu excepția faptului că valoarea de calcul poate fi mai mult. Să examinăm câteva exemple:
Exemple. Calculați produsul:
Din nou, notați a doua expresie. Înmulțim rădăcină cubică, a scăpa de punctul zecimal și în cele din urmă vom obține produsul în numitorul numerelor 625 și 25. Acesta este un număr destul de mare - eu personal nu contează în mișcare, astfel încât să fie egal.
Deci, am identificat doar de metri cubi exact în numărătorul și numitorul, și apoi utilizați una dintre proprietățile cheie (sau, dacă vreți - prin definiție) rădăcină $ n $ mii de studii:
Astfel de „mașinațiunile“ poate salva o mare de timp la testul sau activitatea de control, amintiți-vă astfel:
Nu vă grăbiți să multiplice numărul expresiei radicale. Mai întâi verificați: ce se întâmplă dacă sunt „criptate“ amploarea exactă a unei expresii?
Atunci când toate dovezile de această remarcă trebuie să recunoască faptul că cei mai mulți studenți nepregătite să se concentreze nu vedea gradul exact. În schimb, ei se multiplica toate la nimic, și apoi e de mirare de ce a primit astfel de numere brutale :)?
Cu toate acestea, toate acestea vorbesc copil în comparație cu faptul că studiem astăzi.
rădăcini de multiplicare cu diferiți indici
Ei bine, acum știm cum să multiplice rădăcinile acelorași indicatori. Ce se întâmplă dacă diferiți indicatori? De exemplu, cum să se multiplica normal $ \ sqrt $ pe un anumit tip de rahat $ \ sqrt [7] $? Pot să o fac?
Da, desigur, puteți. Totul se face aici, pe această formulă:
Multiplicarea exclude rădăcini. Pentru a multiplica $ \ sqrt [n] $ la \ $ sqrt [p] $, suficient de a efectua această transformare aici:
Cu toate acestea, această formulă funcționează numai cu condiția ca radicands non-negativ. Acesta este un punct foarte important, la care vom reveni mai târziu.
Între timp, să ne ia în considerare câteva exemple:
După cum puteți vedea, nimic complicat. Acum, să vedem, în cazul în care au obligația de non-negativitate, și ce s-ar întâmpla dacă am rupe. :)
De ce radicands trebuie să fie non-negativ?
Desigur, putem deveni ca profesori de școală și citez sagely manualul:
Cerința pentru non-negativitate datorită diferitelor definiții ale rădăcinilor de grade pare și impare (respectiv, domeniu ele sunt diferite, de asemenea).
Ei bine, a devenit clar? Personal, când am citit acest nonsens, în clasa a opta, am realizat pentru mine ceva de genul: „cerința de bază non-negativitate asociată cu * # ^ @ (* @ # ^ #)
% „- pe scurt, am de nicrom la acel moment nu a înțeles :).
Așa că acum explic totul este normal.
În primul rând, pentru a afla în cazul în care multiplicării generală luată având în vedere formula de mai sus. Pentru a face acest lucru, amintesc o caracteristică importantă a rădăcinii:
Cu alte cuvinte, putem construi cu ușurință o expresie radicală în orice grad plin $ k $ - atunci când acest indicator va trebui să fie multiplicate cu rădăcina același grad. Prin urmare, putem cu ușurință reducem orice rădăcini la indicele de ansamblu, și apoi se multiplica. luate Prin urmare formula de multiplicare:
Dar există o problemă care limitează drastic utilizarea acestor formule. Să luăm în considerare aici este numărul:
Conform formulei, tocmai citate, putem adăuga orice grad. Să încercăm să adăugați $ k = 2 $:
Dar apoi se dovedește că unele rahat:
Acest lucru nu poate fi, deoarece $ \ sqrt [3] \ lt 0 $ și \ $ sqrt [3] \ gt 0 $. Deci, formula noastră nu funcționează chiar și puteri și numere negative. După aceea, avem două opțiuni:
- Sacrifică pe perete a declarat că matematica - este știință prost, în cazul în care „există unele reguli, dar este inexact“;
- Introduce restricții suplimentare în care formula ar fi funcționează la 100%.
În primul caz, avem de a prinde în mod constant cazuri de „neperformant“ - este dificil, lung și, în general, fu. Prin urmare, al doilea exemplu de realizare preferat al matematicii. :)
Dar nu vă faceți griji! În practică, această restricție nu afectează calculul, deoarece toate problemele de mai sus se referă numai la rădăcinile de grad impar, iar dintre acestea, se pot face contra.
De aceea, formulăm mai mult de o regulă care se aplică, în general, tuturor acțiunilor de către rădăcini:
Înainte de a se multiplica rădăcinile, asigurați-vă că radicands sunt non-negativ.
Exemplu. Printre $ \ sqrt [3] $ pot fi scoase din semnul minus rădăcină - atunci totul va fi norma:
Vezi diferenta? Dacă lăsați o rădăcină negativă, radicand în construcția de pătrat, el va dispărea și începe rahat. Și dacă faci un prim negativ, atunci puteți cel puțin până când sunteți albastru construi / elimina pătrat - numărul va fi negativ :).
Astfel, modul cel mai corect și mai fiabile multiplicării rădăcinile următoarele:
- Eliminați toate dezavantajele unui radical. Minusuri sunt numai în rădăcinile multiplicitate ciudat - acestea pot fi puse în fața rădăcină și se taie, dacă este necesar (de exemplu, în cazul în care aceste dezavantaje ar fi două).
- Efectuarea de multiplicare în conformitate cu regulile discutate anterior în lecția de azi. În cazul în care rădăcinile aceleași figuri, se multiplica doar radicali. Și dacă este diferit - utilizarea rău formula \ [\ sqrt [n] \ cdot \ sqrt [p] = \ sqrt [n \ cdot p]> \ cdot ^ >> \].
- Rezultatul 3.Naslazhdaemsya și note bune. :)
Deci, ce? Noi practică?
Exemplul 1: Simplificați expresia:
Aceasta este cea mai ușoară opțiune: rădăcinile de aceleași cifre și ciudat, problema este doar în roșu, în al doilea factor. Scoateți nafig negativ, atunci totul este ușor de a conta.
Exemplul 2: Simplificați expresia:
Există mulți să fie confundat de faptul că producția va primi un număr irațional. Da, se întâmplă că nu am fost în stare să scape complet de rădăcină, dar cel puțin simplificat în mod semnificativ exprimare.
Exemplul 3: Simplificați expresia:
Aici, pe această misiune ar dori să atragă atenția. Apoi, la doar două puncte:
- Sub rădăcină nu ar trebui un anumit număr sau o putere, iar variabila $ o $. La prima vedere, este un pic neobișnuită, dar în realitate în rezolvarea problemelor matematice de multe ori trebuie să se ocupe este variabilă.
- În cele din urmă am reușit să „reducă“ rata și gradul de rădăcină în radicand. Acest lucru se întâmplă destul de des. Și acest lucru înseamnă că este posibil de a simplifica în mod semnificativ calculele, dacă nu folosiți formula de bază.
De exemplu, ai putea face acest lucru:
De fapt, toate transformările au fost efectuate numai cu al doilea radical. Și dacă nu vopsea detaliu toate etapele intermediare, rezultatul va fi redus în mod semnificativ cantitatea de calcul.
De fapt, ne-am întâlnit deja o sarcină similară de mai sus, atunci când exemplu rezolvat $ \ sqrt \ cdot \ sqrt [4] $. Acum este posibil să se picteze mult mai ușor:
Ei bine, cu multiplicare sortate rădăcini. Acum ia în considerare operațiunea inversă: ce să facă atunci când o rădăcină este produsul?
- Pregătirea gratuită pentru examenul de 7 lecții simple, dar foarte util + teme pentru acasă
