Ecuații diferențiale - studopediya

Definiția. ecuație diferențială numită relația dintre variabila x independentă. funcție necunoscută și derivații săi. Dacă funcția dorită este o funcție de o variabilă independentă, ecuația diferențială se numește obișnuit.

Fiecare funcție. care, atunci când sunt substituite în ecuație, devine o identitate, numită o soluție a ecuației. Soluția de rezolvare a ecuației care conține valoarea constantă arbitrară, este dată.

Prima ecuație diferențială este de forma: sau. De exemplu; .

Ordinul (rank) a ecuației diferențiale este ordinul cel mai înalt derivatului inclus în ea. Forma generală a ecuației diferențiale ordine după cum urmează :.

Soluția generală a ecuației diferențiale de ordine este o funcție. semnificativ în funcție de constante arbitrare și atrage această ecuație într-o identitate pentru orice valori ale acestor constante.

Ecuația de forma. unde - număr constant reală numită ecuație omogenă liniară diferențială de ordinul doi cu coeficienți constanți. Solutia sa are funcția de formă. Diferențierea-l au. . Ecuația obținută prin substituirea unei stări și valori. Ea are forma - numită ecuația caracteristică a ecuației diferențiale.

Decide sau să fie integrate, având în vedere ecuația diferențială - înseamnă să găsească soluția generală, care are forma :. Soluția, care se obține din soluția generală pentru o anumită valoare fixă ​​a arbitrare constantă C se numește o anumită soluție: dacă. . că aceste condiții sunt numite inițial.

Cele mai simple clase de ecuații diferențiale:

1. apoi, dacă este luată integral, atunci ecuația este integrat în funcții elementare.

2. Ecuația formei (partea dreaptă nu conține x). pentru că . atunci. . Integrarea ambelor părți, avem: (sau rădăcinile pot fi pierdute).

3. Ecuația cu variabile separate. și anume ecuația de forma :. sau

4. Ecuația cu variabile separabile este de forma: sau. Acesta poate fi scris ca :.

Definiția 1. expresie matematică numită o serie numerică, sau doar un număr, iar numerele sunt numite membri ai seriei. Aplicată și înregistrare :.

Un număr presupus a fi dat, dacă știi termenul general.

Suma unui număr finit de termeni ai seriei. . etc. numitele sume parțiale (segmente) ale seriei.

Definiția 2. În cazul în care există o limită. atunci seria se numește convergentă. și numărul de S - suma acestei serii.

Dacă această secvență nu are nici o limită, seria se numește divergente.

Seria Divergente nu are nici o sumă.

13.2. Semne de convergență a seriei:

Dacă seria converge, atunci termenul general tinde la zero ca n crește pe termen nelimitat. și anume (O condiție necesară pentru convergența seriilor).

În cazul în care durata totală a seriei nu tinde la zero, atunci seria este divergenta.

testul D'Alembert lui. în cazul în care există o serie pozitivă. atunci seria converge, iar atunci când - este divergentă.

Numărul de serie sunt semne constante și alternativ. în cazul în care toți termenii seriei numai pozitiv, acesta numărul znakopolozhitelny; în cazul în care toți membrii -, acesta numărul znakootritsatelny negativ; în cazul în care nu toți membrii au același semn, este o serie alternantă.

Un număr de care sunt membri ai funcției. Ei au numit funcție. Exemplu.

În cazul în care numărul funcțional aduc o valoare adăugată. numărul va fi numeric.

Seria de putere numita serie funcțională a formei. în cazul în care - sunt constante, numite coeficienții seriei de puteri.

. Această serie converge numai atunci când. Cu toate acestea serie diverge. Aceasta se referă la un număr de rânduri de prima clasă.

Există o serie de putere, care converg pe toata axa reala. Aceste rânduri sunt rândurile de clasa a doua. De exemplu, seria converge pe toată axa reală:

Rândurile care nu fac parte din rândurile de prima și a doua clasă, a treia clasă sunt într-un rând.

Număr Exemplu; există un număr de clasa a treia, pentru că .

Definiția. un număr. că converge seria de putere și diverge numit raza de convergență. Pentru rândurile din prima clasă; pentru un număr de clasa a doua.

Dacă un număr există și este limita nenul. atunci. În exemplul discutat mai sus, o zonă de convergență.

13.3. Rândurile în gradul de diferență

Seria de putere este, de asemenea, numit o serie funcțională a speciei. Intervalul de convergență a seriei este centrat la.

În cazul în care funcția este suma unei serii de puteri, atunci spunem că funcția poate fi extins într-o serie de putere în puteri.

Un număr de specii. Se numește seria Taylor.

Coeficienții din această serie :. . . ... se numesc coeficienții Taylor ai funcției de la.

În cazul în care. obținem cazul special al seriei Taylor, seria Maclaurin :.